梯形法则 & 辛普森规则——公式推导

2023-08-18 04:26:31 来源 : 个人图书馆-小温爱怡宝

梯形法则是一种数值积分方法，用于估计一个函数在给定区间上的定积分值。它的基本思想是将函数图像下的区域划分为多个小矩形（或梯形），然后计算这些小矩形（或梯形）的面积之和来近似整个区域的面积，从而近似积分的值。

(资料图)

划分区间：首先，我们考虑一个闭区间，在这个区间上要估计函数的定积分。

划分面板：我们将区间分成个小区间，每个小区间的宽度为。这里的是步长，也就是每个小区间的宽度。所以，每个小区间的起点可以表示为，其中是从到的整数。

近似面积：我们可以将每个小区间上的函数图像近似为一个梯形。具体来说，我们取每个小区间的两个端点，然后将这两个端点和函数图像连接，得到一个梯形。梯形的上底边长度对应于，下底边长度对应于，高度就是。

计算面积：对于每个小区间，我们可以计算出对应梯形的面积，即。然后，将所有小区间的梯形面积相加，得到总的近似面积。

总结公式：将所有小区间的梯形面积相加，得到近似面积的公式为：

这个公式就是梯形法则的具体表示，它给出了对定积分的近似值。

总之，梯形法则利用划分区间并近似函数图像下的区域为梯形，然后计算梯形的面积之和来估计定积分的值。虽然这个方法在一些情况下可能需要较多的小区间才能获得精确的估计，但它是一个相对简单的数值积分方法，易于理解和实现。

给定等距离分割区间，将该区间分成个小区间，每个小区间的长度为。假设，其中。

来推导复化梯形公式的推导过程：

首先，我们将被积函数在上进行插值，使用复化梯形公式进行近似估计。将分成个小区间，每个小区间的起点和终点分别为和。

根据复化梯形公式，我们用梯形面积来近似估计每个小区间上的积分，再将它们加起来。每个小区间上的梯形面积可以表示为。

因此，对于每个小区间，我们有如下估计：

现在，我们来对上述估计进行求和，得到整个区间上的近似积分值。

进一步整理上述求和式，我们可以得到如下形式：

然而，这只是使用一个梯形对每个小区间进行近似估计，我们可以进一步提高精度，使用两个梯形对每个小区间进行近似估计。

我们可以将每个奇数小区间和每个偶数小区间分别看作两个不同的部分进行估计。

对于奇数小区间，估计梯形面积为。

对于偶数小区间，估计梯形面积为。

然后将这两部分的估计结果加起来，我们可以得到更高精度的估计。

化简上述表达式，可以得到复化梯形公式的推导结果：

因此，我们得到了复化梯形公式的推导结果。

总之，辛普森规则利用拟合抛物线来近似曲线的形状，并将区间划分成偶数个面板，然后计算面板下的面积之和来估计定积分的值。相较于梯形法则，辛普森规则的近似更准确，因为它使用了更多的信息来逼近函数的曲线形状。

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